して速度\( v_{st} \)で石を投げるとする。ガリレイ力学では、地球に対する石の速度は\( v_{se} =v_{st} + v_{te} \)となる。ところが、特殊相対論では\[ v_{se} =\frac{v_{st} + v_{te} }{1+v_{st}v_{te}/c^2 } \]となる。
第１の観測者が時間$T$後に光パルスを第2の観測者に向けて光を送る。そして、第2の観測者の第1の第2の観測者は光を受け取るとすぐに第3の観測者に向けて光をおくるとする。
この時、第1の観測者に対する第2の観測者の相対速度は\( v_{te} \)で、第2の観測者に対する第3の観測者の相対速度は\( v_{st} \)より、第3の観測者が光パルスを受け取る時間は\[k_{st}k_{te}T=\sqrt{\frac{c+v_{st}}{c-v_{st}}}\sqrt{\frac{c+v_{te}}{c-v_{te}}}T\]となる。
一方、第1の観測者に対する第3の相対速度は\(v_{se}\)なので第3の観測者が光パルスを受け取る時間は\[k_{se}T=\sqrt{\frac{c+v_{se}}{c-v_{se}}}T\]
となる。
第3の観測者の光パルスを受け取る時間は一致しなければならない：\(k_{st}k_{te}T=k_{se}T\)。従って\[\sqrt{\frac{c+v_{se}}{c-v_{se}}}=\sqrt{\frac{c+v_{st}}{c-v_{st}}}\sqrt{\frac{c+v_{te}}{c-v_{te}}}\]を計算すれば、相対論的な速度の合成式が得られる。
この計算は中学生でもできる。簡単だと思いませんか。
