この世界の運動はなぜこんなにゆっくりしているのか？

Motion Mountainの著者はこんな疑問を発している。

運動はなぜこんなにゆっくりしているのか？ゆっくりというのは光速に比べて小さい速度で運動しているという意味である。確かに、宇宙の巨視的な物体の運動は非相対論的に説明できる。

この答えとしてあげているのは宇宙ができて上がってから長い時間が経過しているからだという。

(1) 宇宙ができたころ高速で動いていた粒子も衝突を繰り返し、他の物質に変化してしまったことによる。
(2) もう一つは高速電荷粒子の輻射減衰によるもの。

相対論因子の変わった求め方

Motion Mountainでは相対論因子を以下のように求めている。

実験から相対論的運動量保存則と相対論的質量エネルギー保存則が満足されているという所から始める。

相対論的運動量保存則：\[ \sum_{i} \gamma_{i}m_{i} \boldsymbol{v}_{i} ={\rm const} \]
相対論的質量エネルギー保存則：\[\sum_{i} \gamma_{i}m_{i} ={\rm const} \]

さて、次のような質量が等しい2個の粒子の非弾性衝突を考える。

観測者Aの場合、運動量保存則は $\gamma_{v} m v = \gamma_{V} M V$ と質量エネルギー保存則は$\gamma_{v} m + m = \gamma_{V} M $ となる。また、系Aの速度$v$は系Bの2個の粒子の速度$v$と速度$V$の合成で得られるので、相対論的速度の合成式を用いて、
\[v = \frac{ 2 V}{ 1 + V^{2}/c^{2} }\]
となる。この上の2つの保存則の式から$\gamma_{V} M$を消去すると  $\gamma_{v} v = (\gamma_{v}+1) V$となり, この式と速度の合成式の $V$ を消去すると、相対論因子の具体的な形が得られる；
\[\gamma_{v}  = \frac{1}{\sqrt{1-v^{2}/c^{2}}}\]

光速より速いもの

昨日、本屋さんで雑誌「ニュートン」を見ていたら, 今月号の特集は「超光速は実現可能か」だった。

Motion Mountainにはいくつかの例が記載されている。波の位相速度が真空中の光速度を超える可能性はある。ほかにも、あるのだろうか。もちろん、真空中の光速の話である。

影の速度は光速はこえてもよい。Motion Mountainにはいくつも例が紹介されているので考えてみるとおもしろい。はさみで紙を高速で切るときの切断点の移動、LPレコード（過去の遺物かもしれないが）を高速で袋に入れる時のレコードのエッジ部と袋の上端の交点の横方向への速度、床に寝ている状態から高速で立ち上がったときの地平線が遠ざかる速度、月に送られるレーザー光を高速で横に動かしたときの月面上でのレーザースポットの速度。

もうひとつはみかけの速度が光速を越える可能性があるという話が書かれており、それがクェーサーからのジェットが光速を超えて見える場合があること、また、タキオンを観測できるかどうかという話に展開されてる。

ともかく、Motion Mountainでは「energy speedは光速cを超えることはできない」言う表現になっている。

ロケットで宇宙の果てまで行けるか

光が時間$t$の間で移動できる距離は最大$ct$です. それでは、ロケットに乗って光に近いような高速で移動するとどこまで行けるでしょうか? $ct$ より遠くへはいけないのでしょうか?

もし, あなたがロケットの操縦士なら安心してください. もっと, 遠くまで行けます。加減速を無視し, ロケットが速度$v$で等速で移動しているなら, あなたのの時計$t$の間に移動できる距離$d$は、\[d=\frac{vt}{\sqrt{1-v^2/c^2}}\]となります.

$v>0.72c$より大きくなると $ct$ より遠くまでいけます。従って, 　$v$が光速にもっと近いと, 1秒で宇宙の果てまで行って, 宇宙の果てが見れるかも.

固有時間とは

相対論では固有時間がよく使われますが、固有時間とはなんでしょう. Motion Mountainではこう書かれています. "固有時間を $c$ 倍したものが時空間隔 $di$ である". 固有時間を$\tau $ とすると, 時空間隔$di$は
\[di^2 = c^2\tau ^2 =  c^2t'^2-x'^2-y'^2-z'^2  \]となります. つまり, 物体が動いていた時, つねに, $x'=y'=z'=0$ の系で測定した時間 $t' (=\tau)$, すなわち, 物体とともに運動する観測者の腕時計のより測定される時間です.

特殊相対論の時空

ガリレイ力学では、絶対時間、絶対空間が存在その中を物体が運動します.

物体が, この空間内で設定されたある慣性系で $(t,x)$から$(t+dt, x+dx)$まで動くとき, 別の慣性系から見ると,  $(t,x')$から$(t+dt, x'+dx')$となり, 時間に関してはどの慣性系でも共通になります.

特殊相対論では時間と空間それぞれは絶対ではなく, それらを合わせた時空が絶対的存在でその入れ物の中を物体が運動することになります. ある慣性系で事象$(t,x)$から事象$(t+dt, x+dx)$まで運動したとします. もちろん, この事象点は無限に多くの等速運動する慣性系では変化しませんが, 座標の値は変化します. つまり, 別の慣性系でみると事象$(t',x')$から事象$(t'+dt', x'+dx')$まで運動します. この時, 時間の座標値も異なっているのがガリレイ力学との大きな違いです. 特殊相対論の場合, 時空間隔$di$は
\[di^2 = c^2t^2-x^2-y^2-z^2 =  c^2t'^2-x'^2-y'^2-z'^2  \]
で表され, どの慣性系でもこの時空間隔$di$が一定になるように時間と空間が混じり合います. つまり, 特殊相対論では異なった速度で運動する慣性系では時間と空間の混じり方が違っています. これらの系の間での混じり具合の変換式がローレンツ変換式で, この時空間隔$di$を一定にします. この特殊相対論の時空をミンコフスキー空間とよびます.

重要なのはこの間隔を持つ空間は, どの慣性系においても光速$c$が一定になるように作られていることです.

特殊相対論の出発点とその意味すること

どの教科書にも書いてあることだが、特殊相対論の出発点と主要な意味することをまとめておきます。

出発点は

1. 光速不変性：物理系の速度$v$は上限があり、その上限値は光速$c$で、しかも、$c$はすべての観測者は不変である。
2. ガリレオの相対性原理：すべての慣性観測者は等価である。

特殊相対論が含む内容

1. 閉じた自由に浮遊する（慣性）部屋で、自分の部屋の速度を測定する方法はない。
2. 絶対静止の概念は存在しない。静止は観測者に依存する相対的概念である。
3. 長さや空間は観測者に依存する。長さや空間は絶対的ではなく相対的である。
4. 時間は観測者に依存する。時間は絶対的ではなく相対的である。
5. 質量とエネルギーは等価である。