2016年9月28日水曜日

相対論因子の変わった求め方

Motion Mountainでは相対論因子を以下のように求めている。

実験から相対論的運動量保存則と相対論的質量エネルギー保存則が満足されているという所から始める。

相対論的運動量保存則:\[ \sum_{i} \gamma_{i}m_{i} \boldsymbol{v}_{i} ={\rm const} \]
相対論的質量エネルギー保存則:\[\sum_{i} \gamma_{i}m_{i} ={\rm const} \]

さて、次のような質量が等しい2個の粒子の非弾性衝突を考える。


観測者Aの場合、運動量保存則は $\gamma_{v} m v = \gamma_{V} M V$ と質量エネルギー保存則は$\gamma_{v} m + m = \gamma_{V} M $ となる。また、系Aの速度$v$は系Bの2個の粒子の速度$v$と速度$V$の合成で得られるので、相対論的速度の合成式を用いて、
\[v = \frac{ 2 V}{ 1 + V^{2}/c^{2} }\]
となる。この上の2つの保存則の式から$\gamma_{V} M$を消去すると  $\gamma_{v} v = (\gamma_{v}+1) V$となり, この式と速度の合成式の $V$ を消去すると、相対論因子の具体的な形が得られる;
\[\gamma_{v}  = \frac{1}{\sqrt{1-v^{2}/c^{2}}}\]