相対論因子の変わった求め方

Motion Mountainでは相対論因子を以下のように求めている。

実験から相対論的運動量保存則と相対論的質量エネルギー保存則が満足されているという所から始める。

相対論的運動量保存則： $$\sum_{i} \gamma_{i}m_{i} \boldsymbol{v}_{i} ={\rm const}$$
相対論的質量エネルギー保存則： $$\sum_{i} \gamma_{i}m_{i} ={\rm const}$$

さて、次のような質量が等しい2個の粒子の非弾性衝突を考える。

観測者Aの場合、運動量保存則は $\gamma_{v} m v = \gamma_{V} M V$ と質量エネルギー保存則は$\gamma_{v} m + m = \gamma_{V} M$ となる。また、系Aの速度$v$は系Bの2個の粒子の速度$v$と速度$V$の合成で得られるので、相対論的速度の合成式を用いて、
$$v = \frac{ 2 V}{ 1 + V^{2}/c^{2} }$$
となる。この上の2つの保存則の式から$\gamma_{V} M$を消去すると  $\gamma_{v} v = (\gamma_{v}+1) V$となり, この式と速度の合成式の $V$ を消去すると、相対論因子の具体的な形が得られる；
$$\gamma_{v}  = \frac{1}{\sqrt{1-v^{2}/c^{2}}}$$