k-計算法を用いた速度の合成式の導出

地球に対し速度$v_{te}$で走っている列車の中で、乗客が進行方向に列車に対
して速度$v_{st}$で石を投げるとする。ガリレイ力学では、地球に対する石の速度は$v_{se} =v_{st} + v_{te}$となる。ところが、特殊相対論では $$v_{se} =\frac{v_{st} + v_{te} }{1+v_{st}v_{te}/c^2 }$$ となる。

さて、この式をk-計算法で求めてみよう。

第１の観測者が時間$T$後に光パルスを第2の観測者に向けて光を送る。そして、第2の観測者の第1の第2の観測者は光を受け取るとすぐに第3の観測者に向けて光をおくるとする。

この時、第1の観測者に対する第2の観測者の相対速度は$v_{te}$で、第2の観測者に対する第3の観測者の相対速度は$v_{st}$より、第3の観測者が光パルスを受け取る時間は $$k_{st}k_{te}T=\sqrt{\frac{c+v_{st}}{c-v_{st}}}\sqrt{\frac{c+v_{te}}{c-v_{te}}}T$$ となる。

一方、第1の観測者に対する第3の相対速度は$v_{se}$なので第3の観測者が光パルスを受け取る時間は $$k_{se}T=\sqrt{\frac{c+v_{se}}{c-v_{se}}}T$$
となる。

第3の観測者の光パルスを受け取る時間は一致しなければならない：$k_{st}k_{te}T=k_{se}T$。従って $$\sqrt{\frac{c+v_{se}}{c-v_{se}}}=\sqrt{\frac{c+v_{st}}{c-v_{st}}}\sqrt{\frac{c+v_{te}}{c-v_{te}}}$$ を計算すれば、相対論的な速度の合成式が得られる。

この計算は中学生でもできる。簡単だと思いませんか。